三角作为解决数学问题的一种工具，解析几何中椭圆 的参数方程 （其中 为参数）就是以角为参数，借助三角这一桥梁建立关系的，可以用来解决某些综合问题，比如利用三角关系消参求定值或求相关点的轨迹、借助三角中的有界性求最值或确定某参数的取值范围等。

1．活用三角求定值

例1．（2005年全国卷Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。

解：（Ⅰ）设椭圆方程为： ，右焦点 ， 。

设A 、B ， ， ，

而过椭圆右焦点F的直线AB的斜率为1，

则 （点OAB不共线）；且 ①，

于是 ②，

即 ③。

又由 与 共线得

④，

即 ， ⑤。于是由③⑤得

，即 ， ，则 。

（Ⅱ）由①④得 ， ，

平方相加并化简得 ⑥。

此时椭圆方程为： ， 则A 、B ，

可设 ，由

得 ，

平方相加得 ⑦。

由⑥⑦得 。故 为定值，定值为1。

2．活用三角求轨迹和最值

例2．（2004年高考辽宁卷）设椭圆方程为 ，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 ，点N的坐标为 ，当l绕点M旋转时，求：（Ⅰ）动点P的轨迹方程；（Ⅱ） 的最小值与最大值.

解：（Ⅰ）设点P ，A ，B ， ，

（1）若 ， 时， ，

由 得 ，则 ，

即 ，则 ①；

而过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B， ，

，则 ，即 ，

于是 ，

则 ②；

由①②消参 得 ③；

（2）若 ， 时，通过验证可知此时点P的坐标也满足方程③。

故由（1）、（2）可知所求动点P的轨迹方程为 ，即 。

（Ⅱ）点P为轨迹 上的任一点，可设点P ，

则

，由 知

当 时， 取得最大值，最大值为 ；

当 时， 取得最小值，最小值为 。

3．活用三角确定参数取值

例3．已知平面上的一定点 和一定直线 ，点P为该平面上一动点，作 。